Побудова базису біпіраміди з трьома рухомими вузлами

Abstract

У статті розглянуто можливості апроксимації методом скінченних елементів функції трьох змінних в області, яка має форму чотирикутної біпіраміди. Основною задачею даного дослідження є покращення апроксимаційних властивостей решіток тетраедрально-октаедральної структури шляхом поповнення їх комірками, які не є правиль-ними багатогранниками. Зокрема, автором вивчаються скінченні елементи, які утворені в результаті лінійних дефор-мацій октаедра.У даній роботі об’єктом досліджень є скінченний елемент у формі біпіраміди з трьома рухомими вузлами, які можна переміщати вздовж півосей багатогранника. Дана властивість дозволяє пристосувати скінченний елемент, який не є правильним багатогранником, до границі розрахункової області краще за правильний багатогранник.У роботі побудовано два скінченно-елементні базиси біпіраміди з сімома та шістьма вузлами інтерполяції. Для побудови базисних функцій біпіраміди застосовано два методи: геометричний та метод конденсації. Отримані базиси є поліноміальними функціями, які параметрично залежать від значень трьох коефіцієнтів видовження/стиснення пів-осей біпіраміди. Базис з шістьма вузлами інтерполяції містить додатковий параметр у вигляді вагового коефіцієнта, який є наслідком застосування процедури конденсації до функцій семивузлового базису біпіраміди. Наявність параме-трів дозволяє покращувати інтерполяційні властивості побудованих базисів біпіраміди відповідно до критеріїв якості апроксимації, які використовують в методі скінченних елементів. В даній роботі таким критерієм вважається вели-чина сліду матриці жорсткості. Згідно з обраним критерієм знайдено значення коефіцієнтів лінійної деформації трьох півосей октаедра, при яких слід матриці жорсткості біпіраміди є мінімальним.У статті отримано інтервальні оцінки для коефіцієнтів видовження/стиснення трьох півосей октаедра, які характеризують відхилення геометричних розмірів біпіраміди від правильного багатогранника та приводять до втрати всіх видів симетрії. Для визначення меж допустимих значень коефіцієнтів лінійних деформацій октаедра роз-раховано показник асиметрії Skewness, який використовують в системі скінченно-елементного аналізу ANSYS. Отри-мані інтервальні оцінки для коефіцієнтів видовження/стиснення півосей октаедра відповідають критерію мінімально-сті сліду матриці жорсткості біпіраміди з трьома рухомим вузлами, що вказує на позитивний прогноз використання даного скінченного елемента як комірки решітки тетраедрально-октаедральної структури.Перспективою подальших досліджень є побудова кубатурних формул на скінченному елементі в формі біпіраміди з трьома рухомими вузлами з метою використання його при алгоритмізації методу скінченних елементів.