A study of approximation of functions of bounded variation by Faber-Schauder partial sums

Abstract

Система функцій Фабера-Шаудера була введена в 1910 році і стала першим прикладом базису в просторі функцій, неперервних на [0, 1]. Відомо низку результатів щодо властивостей рядів Фабера-Шаудера, у тому числі щодо оцінювання похибок наближення функцій поліномами та частинними сумами рядів, побудованих за системою Фабера-Шаудера. Відомо, що серед завдань теорії наближення функцій важливим є отримання нових оцінок величини наближення довільної функції деяким заданим класом функцій. Тому дослідження апроксимативних властивостей поліномів і частинних сум рядів Фабера-Шаудера становить значний інтерес для сучасної теорії апроксимації функцій. Досліджено питання наближення функцій обмеженої варіації частинними сумами рядів, побудованих за системою функцій Фабера-Шаудера. Отримано оцінку похибки апроксимації функцій з класів функцій обмеженої варіації Cp (1 ≤ p < ∞) у метриці простору Lp за допомогою значень модуля неперервності дробового порядку ϖ2–1/p( f, t). З отриманої нерівності випливає оцінка похибки наближення неперервних функцій, яка виражена через модуль неперервності другого порядку. Також у класі функцій Cp (1 < p < ∞) отримані оцінки похибок наближення функцій у метриці простору Lp за допомогою модуля неперервності дробового порядку ϖ1–1/p(f, t). Для класів функцій обмеженої варіації KCV(2,p) (1 ≤ p < ∞) отримано оцінку похибки наближення функцій у метриці простору Lp частинними сумами рядів Фабера-Шаудера. Таким чином, отримано низку оцінок похибок наближення функцій обмеженої варіації їх частинними сумами рядів Фабера-Шаудера. Отримані результати є новими у теорії наближення функцій. Вони певним чином узагальнюють раніше відомі результати та можуть бути використані для подальших практичних застосувань.