УДК 338:519.876.5

М.Г. Бердник, 
кандидат фізико-математичних наук 

В.О. Луценко

Дніпропетровський 
національний університет 
ім. Олеся Гончара 
	МОДЕЛЮВАННЯ ЕКОНОМІЧНО РАЦІОНАЛЬНОГО СПОЖИВЧОГО КОШИКА ДЛЯ ВСІХ ГРУП 
НАСЕЛЕННЯ

У роботі побудовано загальну функцію корисності за продуктами споживання для різних категорій населення. Вирішено завдання оптимізації пошуку кількості продуктів харчування з урахуванням їх вітамінного складу та обмеження на бюджет; розроблено програму на VBA. Знайдено оптимальну кількість продуктів харчування для  обраного споживчого  кошика.	
Економіко-математичне моделювання
Ключові слова: споживчий кошик, функція корисності, крива Гомперца, система нелінійних рівнянь, функція Лагранжа.
	
Постановка проблеми.   Несприятливі екологічні умови навколишнього середовища, наявність великої кількості економічних проблем сприяють погіршенню здоров’я та психологічного стану. Одним із шляхів пом’якшення дії цих факторів є організація повноцінного та збалансованого харчування людей. Існуючий розроблений на державному рівні мінімальний споживчий кошик [5] за харчовими продуктами може бути суттєво вдосконалений без зміни фінансових витрат на нього за рахунок математичного моделювання оптимальної конфігурації продуктів з урахуванням їх складу, добових норм споживання вітамінів людиною. 
Вітаміни мають винятково високу біологічну активність і потрібні організму в досить невеликих кількостях - від декількох мікрограмів до декількох десятків міліграмів у день. Майже всі водорозчинні вітаміни, а також жиророзчинний вітамін К, є коферментами або кофакторами біохімічних реакцій. Все це робить вітаміни незамінними в життєдіяльності клітин. 

© М.Г. Бердник, В.О. Луценко, 2012 

Соціально-економічні умови, що змінилися, з особливою гостротою підкреслили виняткову роль вітамінологічних знань і досвіду в житті людей. Індустріалізація спричинила за собою збільшення частки рафінованих і консервованих продуктів у харчуванні, що мають меншу вітамінну цінність. Наприклад, при виготовленні борошна вищих сортів втрачається з висівками до 80-90% усіх вітамінів. На відміну від наших предків, у сучасної людини різко знизилися енерговитрати, що, в свою чергу, призвело до зменшення обсягу споживаної їжі. Однак щоб отримати необхідну добову кількість вітамінів, цей обсяг повинен бути значним. Викладене пояснює, чому дефіцит вітамінів став масовим явищем. До цього варто додати шкідливий вплив популярних процедур голодування, вегетаріанства й інших модних дієт. Найважливішою причиною дефіциту вітамінів залишається невисокий прожитковий мінімум певної частини населення країни, через що страждає якість харчування.
У той же час ступінь реальних знань населення і навіть медичної громадськості про здорову їжу і культуру харчування продовжує залишатися абсолютно недостатнім. Особливо складно людині без спеціальних знань визначити свої потреби залежно від його матеріального стану.
Тому впровадження спеціального програмного забезпечення для населення є досить ефективним і швидким вирішенням проблеми.
Аналіз досліджень і поблікацій.  Можна зазначити, що дослідженням даної проблеми приділяють увагу широке коло науковців та практиків. Зокрема, можна відмітити таких дослідників даного питання як Л. Новосельська, Ю. Цігуш [4], С. Син-чук [6]. Активне обговорення даної теми здійснює Федерація профспілок України.
У цих наукових працях завдання вибору оптимального харчування зі збалансованим вмістом вітамінів зводилися до задачі лінійного або нелінійного програмування, де в якості невідомих виступала безпосередньо загальна кількість вітамінів. Особливість представленого методу в даній роботі полягає в тому, що в якості критерію оптимальності виступає функція корисності  вітамінів.
Формування цілей статті. Метою роботи є створення математичної моделі та програмного забезпечення для розрахунку раціонального споживчого кошику, який потрібен людині на день. Необхідно знайти такі продукти із запропонованих у споживчому кошику та їх кількість, які будуть приносити максимальну корисність для людини, але водночас відповідатимуть сумі грошей, запланованій на витрати.
У даній роботі побудуємо математично-програмне забезпечення розрахунку кількості продуктів, які можна купити за заплановану суму грошей і в якій буде міститися оптимальна кількість вітамінів. Для цього знадобиться: побудувати функцію корисності залежно від кількості вітамінів; побудувати загальну функцію корисності за продуктами споживання; сформулювати завдання оптимізації для отримання оптимальної кількості продуктів споживання щодо їх вітамінного складу на задану суму грошей; розробити метод розв’язання задачі оптимізації за допомогою функції Лагранжа. В даній роботі ми обчислюємо оптимальну кількість продуктів споживання з урахуванням вітамінного складу та обмеженням на бюджет.
	Виклад основного матеріалу дослідження. Розглянемо споживача, що купує  видів продуктів (продукти, які входять до споживчого кошику, такі як молоко, м'ясо й ін.)  за одиницю часу. Позначимо кількість купленого -го  продукту за одиницю часу через , . Нехай для визначеності , де за одиницю часу виступає обраний день.
На -мірному евклідовому просторі  виділимо множину точок: . Точка  це вектор продуктів, а координати  позначають кількість грамів -ого продукту, купленого споживачем за один день. Область  будемо називати продуктовим простором. Нехай - ціна продукту -го виду,  . Споживач витрачає  гривень за день на придбання  продуктів, .  Як результат отримуємо: , .
Очевидно, що на суму z можна придбати різноманітні конфігурації продуктів споживчого кошика. Тому зі всіх варіантів закупівель споживач повинен обрати найкращий. Для цього покупець повинен обрати стратегію закупівель. Перед тим, як закупити продукти, споживачу необхідно оцінити значущість кожного з них, а також необхідність його придбання, описавши це кількісно. Для цього на просторі  визначаємо функцію корисності: , . - корисність набору продуктів , придбаних споживачем. 
	Треба знайти таку кількість продуктів, за якої буде отримана максимальна корисність для людини й будуть витрачені всі гроші, які людина збирається витратити. Для цього необхідно максимізувати функцію корисності  для продуктів харчування залежно від вмісту вітамінів у них за умови, що всі гроші витрачені на закупку необхідної кількості продуктів харчування.
Таким чином, задача зводиться до знаходження вектора продуктів харчування  із розв’язку задачі нелінійного програмування.
Знайти          
      за умови    де .	 (1)
Знайдемо рішення, побудувавши функцію Лагранжа :
		                     (2)
	Оптимальний вектор продуктів  визначається як вирішення системи рівнянь    , відносно :
				            (3)

Побудуємо функцію корисності 
, базуючись на вітамінному складі продуктів харчування і на функції корисності для  для -ого вітаміну.
У даній роботі сфокусуємося лише на одному виді біоактивних речовин – вітамінах. Серед усіх вітамінів було виділено 11, які споживач повинен вживати щодня [4]-[5]: Вітамін A, Вітамін C, Вітамін D, Вітамін E, Вітамін B1 (тіамін), Вітамін B2 (рибофлавін), Вітамін B3 (ніацин, PP), Вітамін B6, Вітамін B9 (фолієва кислота), Вітамін B12, Вітамін К.
За базову функцію корисності окремого вітаміну оберемо криву Гомперца [1]-[2]. Крива Гомперца використовується в основному для опису процесів з насичення і дуже поширена в демографії, маркетингу, дослідженні ринку, збуту продукції. Вона має такий вигляд: 
, 
де   . 				 (4)
Згідно з (4) функція корисності  для j-ого вітаміну має вигляд [1]:

                                          (5)
– індекси вітамінів ( табл. 1);
– коефіцієнти кривої Гомперца для j-ого вітаміну;
– кількість j-го вітаміну. 

Таблиця 1
Індекси вітамінів
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	
Вітамін	A	C	D	E	B1	B2	B3	B6	B9	B12	K	

Функція корисності для вітаміну залежить лише від кількості споживання вітаміну за добу. Функцію корисності для кожного окремого вітаміну будуємо за допомогою формули (4). Для побудови використаємо такі припущення:
1. Для тих вітамінів, для яких визначений максимальний рівень споживання [7] – , область визначення функції корисності – . Для тих вітамінів, для яких не визначений такий максимальний рівень, область визначення функції корисності – . Інформацію про норми споживання наведені в джерелі [ ] для кожної групи населення.
2. Область значень функції корисності – .
3. Для тих вітамінів, для яких визначений максимальний рівень споживання , має виконуватись рівність: .
4. Для тих вітамінів, для яких не визначений такий максимальний рівень, має виконуватись рівність: .
5. Для всіх вітамінів визначена рекомендована добова норма, для якої має виконуватись рівність: . 

Таблиця 2
Категорії населення

№	Категорії населення	№	Категорії населення	
1	0-3 місяці (хлопці та дівчата)	11	14-17 років дівчата	
2	4-6 місяців (хлопці та дівчата)	12	18-59 років, чоловіки 
(1-4 групи інтенсивності праці)	
3	7-12 місяців (хлопці та дівчата)			
4	1-3 роки (хлопці та дівчата)	13	60-74 років, чоловіки	
5	4-6 років (хлопці та дівчата)	14	75, чоловіки	
6	6 років, учні (хлопці та дівчата)	15	18-59 років, жінки 
(1-4 групи інтенсивності праці)	
7	7-10 років (хлопці та дівчата)			
8	11-13 років хлопці	16	55-74 років, жінки	
9	11-13 років дівчата	17	75 років, жінки	
10	14-17 років хлопці			

Тобто  точка перегину. 
Для визначення коефіцієнтів функції ми маємо систему з двох рівнянь. Коефіцієнт  ми будемо визначати також емпіричним шляхом для кожного вітаміну, щоб виконувалось: . Причому .
Використовуючи норму та верхній рівень споживання для кожного вітаміну [7] розрахуємо коефіцієнти  для функцій корисності за вітамінами. До розгляду беруться 17 різних категорій населення [5] (табл. 2)

. 
У табл. 3  представлені розрахунки, шуканих невідомих параметрів . Норми вітамінів K (для категорій 12-17) і D (для категорій 13, 14, 16, 17) не визначені. Вітамін, позначений *, вираховується в мкг, усі інші в мг.
Для категорій 1-9,11,13-17 значення =0.
 Таблиця 3
Коефіцієнти  для функції корисності за вітамінами

№	к	A*	C	D*	E	B1	B2	B3	B6	B9*	B12*	K*	
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	
1		-55,71	-12,20	-9,99	-9,63	-9,26	-10,21	-9,31	-10,21	-10,57	-10,00	-9,31	
		0,9900	0,9200	0,7500	0,4700	0,0006	0,0030	0,6400	0,003	0,9100	0,010	0,640	
2		-55,71	-12,68	-9,31	-9,47	-10,21	-10,00	-9,27	-10,00	-11,88	-10,00	-9,99	
		0,990	0,930	0,800	0,570	0,003	0,010	0,690	0,010	0,940	0,010	0,750	

3		-152,20	-11,88	-9,31	-9,31	-10,00	-10,46	-9,97	-10,46	-11,58	-10,46	-9,31	
		0,990	0,940	0,800	0,640	0,010	0,020	0,720	0,020	0,960	0,020	0,800	
4		-415,80	-10,06	-9,31	-9,27	-9,49	-9,71	-9,31	-9,71	-17,42	-9,52	-9,61	
		0,990	0,950	0,800	0,690	0,060	0,080	0,800	0,080	0,960	0,040	0,860	
Продовження табл. 3	
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	
5		-415,80	-13,00	-9,31	-9,97	-9,49	-10,00	-9,36	-10,30	-11,44	-10,00	-10,28	
		0,990	0,950	0,800	0,720	0,060	0,100	0,830	0,120	0,970	0,100	0,890	
6		-687,26	-9,44	-9,31	-9,99	-9,71	-9,43	-9,65	-9,74	-15,51	-9,74	-10,57	
		0,990	0,960	0,800	0,750	0,080	0,130	0,840	0,150	0,970	0,150	0,910	
7		-1135,96	-11,58	-9,29	-9,31	-10,00	-9,74	-9,61	-9,52	-21,03	-9,52	-12,20	
		0,990	0,960	0,410	0,800	0,100	0,150	0,860	0,200	0,970	0,200	0,920	
8		-23163,57	-9,82	-9,29	-9,65	-9,29	-9,69	-10,67	-9,26	-25,34	-9,77	-10,06	
		0,990	0,970	0,410	0,840	0,180	0,220	0,870	0,270	0,980	0,320	0,950	
9		-3103,45	-17,42	-9,29	-9,31	-9,43	-9,29	-9,61	-9,52	-20,71	-9,77	-10,06	
		0,990	0,960	0,410	0,800	0,130	0,180	0,860	0,200	0,980	0,320	0,950	
10		-23163,57	-11,44	-9,29	-9,61	-9,69	-9,28	-10,28	-9,77	-56,86	-9,77	-14,20	
		0,990	0,970	0,410	0,860	0,220	0,290	0,890	0,320	0,980	0,320	0,960	
		0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,01	0,00	0,00	0,00	0,00	
11		-23163,57	-9,82	-9,29	-9,65	-9,74	-9,69	-10,67	-9,69	-37,96	-9,77	-9,44	
		0,990	0,970	0,410	0,840	0,150	0,220	0,870	0,220	0,980	0,320	0,960	
12		-23163,57	-11,44	-9,29	-13,67	-18,77	-20,66	-10,15	-20,66	-156,13	-9,63	-	
		0,990	0,970	0,410	0,840	0,160	0,220	0,900	0,220	0,980	0,470	-	
		0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,00	0,02	0,00	0,00	0,00	-	
13		-9,29	-21,03	-	-10,57	-9,26	-9,26	-9,61	-9,23	-12,34	-9,63	-	
		0,410	0,970	-	0,910	0,270	0,270	0,860	0,510	0,990	0,470	-	
14		-9,47	-15,51	-	-10,28	-9,69	-9,69	-9,65	-9,63	-10,09	-9,63	-	
		0,360	0,970	-	0,890	0,220	0,220	0,840	0,470	0,990	0,470	-	
15		-23163,57	-17,42	-9,29	-13,67	-9,29	-9,81	-9,28	-9,28	-56,86	-9,63	-	
		0,990	0,960	0,410	0,840	0,180	0,240	0,870	0,290	0,980	0,470	-	
16		-9,29	-21,03	-	-10,28	-9,69	-9,69	-9,65	-9,63	-10,09	-9,63	-	
		0,410	0,970	-	0,890	0,220	0,220	0,840	0,470	0,990	0,470	-	
17		-9,47	-15,51	-	-10,28	-9,69	-9,69	-9,65	-9,63	-10,09	-9,63	-	
		0,360	0,970	-	0,890	0,220	0,220	0,840	0,470	0,990	0,470	-	

Протягом доби споживач купує продукти харчування , які містять у собі вітаміни . Нехай в одному грамі -го продукту міститься  грамів вітаміну -го виду, тоді продукт харчування  містить  грамів -го вітаміну. Додаючи за всіма видами продуктів харчування, отримуємо кількість вітамінів -го виду, які містяться у всіх куплених продуктах :
   .                 (6)   
Підставляючи значення  (6) у (5) отримуємо функцію корисності -го вітаміну для продуктів харчування:
 
       .                  (7)

Маючи окремі функції корисності (7) для обраної групи вітамінів і беручи до уваги принципи побудови функції корисності [1], побудуємо функцію корисності  для продуктів харчування:
      (8)

Таким чином, математично задача звелась до знаходження максимуму функції корисності (8):
          			 
за умови                      
де    .              

Для розв’язку даної задачі оптимізації в роботі використовується метод множників Лагранжа. Згідно з цим методом використовуючи формули (2)-(3), (8) функція Лагранжа має вигляд:
=–.                                        (9)

Знаходження оптимального вектора продуктів  використовуючи (3), (9) зводиться до розв’язку системи нелінійних алгебраїчних рівнянь:

Була розроблена програма на VBA та Microsoft Office Excel 2003, яка використовує надбудову Excel «Поиск решения», за допомогою якої обчислюється раціональний споживчий кошик. 
Програму може використовувати будь-який користувач, який має систему Microsoft Windows 2000, 2003, ХР, Vista або 7-й встановлений офіс.
У якості застосування розробленої методики для групи  чоловіків 18-59 років (1-4 групи інтенсивності праці)  визначено раціональний кошик харчових продуктів.  На мал. 1-мал. 4 представлені залежності функції корисності  від кількості вітамінів обраної категорії населення.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                
                                                                                                                                                                                                                       
       Рис. 1 Функція корисності для                                        Рис. 2 Функція корисності для 
              вітамінів В1,В2,В6                                                                  вітамінів С,Е,В3

                                                    
        Рис. 3 Функція корисності для                                     Рис. 4  Функція корисності для    
                   вітамінів   А,В9                                                               вітамінів   D,В12

Кількість грошей запланована на витрати  споживачем, складає  50 грн. на добу. На момент розрахунку ціни на обрані харчові продукти представлені у табл. 4 

Таблиця 4
Ціна і кількість продуктів споживання
№	Назва харчового продукту	Ціна 
грн. за 100 г.	Кількість продуктів
Споживання, г/добу 	
1	Молоко пастеризоване, (3,2%)	1	173	
2	Яйце (жарене)	1,33	369	
3	Яловичина	5	259	
4	Квасоля	0,8	200	
5	Вівсянка (каша)	1,2	238	
6	Батон нарізний	1	359	
7	Картопля	1	434	
8	Горох	0,6	50	
9	Печінка куряча	3	163	
10	Яблуко	1,2	319	
11	Помідор	1	355	
12	Огірок	1	194	
13	Масло вершкове	3	50	
14	Шоколад темний (60-69%)	5	0	
15	Чай трав’яний, ромашковий	15	0	

У результаті розрахунків отримали такий склад споживчого кошику для обраної групи (табл. 4).
При розв’язанні задачі оптимізації кількість продуктів споживання у зв’язку зі специфікою поставленої задачі стикаємося з певною проблемою. Як результат ми отримуємо, що з обраного набору продуктів харчування (15 продуктів) нам необхідно буде купляти лише деякі з них. Це є результатом того, що в нашій математичній моделі ми враховуємо лише необхідність вітамінного складу продукції без урахування різноманітності продуктів, вмісту інших важливих речовин: білки, жири, вуглеводи і т.ін. Для часткового розв’язання цієї проблеми на кількість куплених товарів накладаються обмеження у вигляді їх мінімальної кількості.
Висновки. У даній роботі було зроблено: побудовані функції корисності по кожному з вітамінів для різних категорій населення; побудована загальна функція корисності за продуктами споживання для різних категорій населення; поставлене завдання оптимізації знаходження кількості продуктів харчування з урахуванням їх вітамінного складу та обмеження на бюджет; для розв’язку завдання оптимізації був застосований  метод множників Лагранжа; в була розроблена програма  Excel й зручна форма для користувача за допомогою засобів VBA; за допомогою розроблених математичної моделі і програми була знайдена оптимальна кількість продуктів харчування для  обраного споживчого  кошика, враховуючи їх вітамінний склад, з обмеженням на певну суму бюджету.

ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА

1.	База даних продуктів ; За даними з бази Міністерства Сільського Господарства США (USDA SR 23) [Електронний ресурс].- Режим доступу: http://intelmeal.ru/.
2.	Бердник М.Г. Моделювання оптимального споживчого кошика для основних категорій населення. / М.Г. Бердник М.С. Конторовська // Математичне та програмне забезпечення інтелектуальних систем : тези доповідей сьомої міжнародної науково-практичної конференції. – Дніпропетровськ: ДНУ ім. Олеся Гончара, 2010 – 296 с.
3.	Конторовська М.С. Моделювання оптимального споживчого кошика за допомогою кривої Гомперця / М.С. Конторовська, М.Г. Бердник // Современные задачи прикладной статистики, актуарной и финансовой математики : тезисы докладов пятой Всеукраинской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых учених.  – Донецк: ТОВ «Юго-Восток ЛТД», 2010. – 55 с.: ил.
4.	Новосельська Л.І. Міжнародний досвід розрахунку прожиткового мінімуму / Л.І. Новосельська, Ю.Ю. Цігуш // Науковий вісник НЛТУ України. - 2009. - Вип. 19.4. - С.198-200.
5.	Про затвердження Норм фізіологічних потреб населення України в основних харчових речовинах та енергії : наказ Міністерства охорони здоров’я України від 8 листопада 1999 № 272 [Електронний ресурс] – Режим доступу: http://zakon1.rada.gov.ua/ laws/show/z0834-99.
6.	Прожитковий мінімум як базовий державний соціальний стандарт в Україні / С. Синчук // Інтернет-видання «Юриспруденція» - 15 березня 2007 р. [Електронний ресурс]. - Режим доступу:  http://www.lawyer.org.ua.
7.	Скурихина И.М. Справочник. Химический состав пищевых продуктов / И.М. Скурихина - Книга 2. – М.: ВО «Агропромиздат», 1987. – 360 с.
8.	Ткачук М.В. Прожитковий мінімум: світові приклади для України / М.В. Ткачук, О.В.Зибарєва // Буковинська державна фінансова академія, м. Чернівці. [Електронний ресурс] - Режим доступу:  http://www.rusnauka.com.

Стаття надійшла до редакції 05.10.2012 р.