Отримання точної константи в нерівності типу Джексона для найкращого наближення функцій тригонометричними поліномами в просторі S^p

Abstract

У статті знайдено точну константу в нерівності типу Джексона, яка зв’язує значення 𝑒𝑛−1(𝑓)𝑆𝑝 найкращого наближення функцій тригонометричними поліномами з модулями неперервності m-го порядку в просторі 𝑆𝑝, при 1 ≤ 𝑝 < ∞ . В окремому випадку, коли m = 1, отримано результат, який у певному сенсі узагальнює результат, отриманий Л. В. Тайковим у просторі 𝐿2 для довільних модулів неперервності m-го порядку (m ∈ N). Доведено на практичному прикладі, що нерівність типу Джексона є потужним інструментом для оцінки точності апроксимацій у різних математичних і прикладних задачах, де важливо зрозуміти, наскільки добре певний апроксимаційний метод відтворює оригінальну функцію. Так, у теорії сигналів нерівність Джексона може бути використана для оцінки якості відновлення сигналу з його часткових або періодичних зразків, що є важливим у цифровій обробці сигналів. В чисельних методах вона допомагає оцінювати якість апроксимації функцій певного класу (наприклад, гладких функцій) тригонометричними поліномами, та визначати помилки наближення функцій або розв’язків диференціальних рівнянь, що важливо для розробки ефективних чисельних алгоритмів. А у теорії функцій допомагає досліджувати властивості функцій, аналізуючи їх модулі неперервності, що особливо корисно для функцій, які не є абсолютно гладкими, але все ж мають певні регулярні характеристики, тощо. Отримані результати мають значний вплив на теорію апроксимації функцій, оскільки вони дозволяють більш точно оцінити ефективність наближення функцій тригонометричними поліномами у просторі 𝑆𝑝. Це, в свою чергу, може бути корисним для подальших досліджень у чисельних методах, теорії сигналів та інших галузях, де використовуються методи апроксимації функцій.